Question

已知函数f（x）=log_a（a-a^x），且a＞1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）在其定义域上的单调性．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=log_a（a-a^x），且a＞1．根据真数大于零构造不等式，解不等式来求定义域；
（2）根据对数函数的单调性，指数函数的单调，复合函数的单调性判断函数的单调性，进而利用定义法可以证明；

解答： 解：（1）由a-a^x＞0得：a^x＜a，
又∵a＞1，
∴x＜1，
故其定义域为（-∞，1）；
（2）设1＞x₂＞x₁，
∵a＞1，
∴a^x₂＞a^x₁，于是a-a^x₂＜a-a^x₁，
则log_a（a-a^x₂）＜log_a（a-a^x₁），
即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在定义域（-∞，1）上是减函数．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，是指数、对数函数的图象和性质的综合应用，难度中档．