Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=x²的图象上，数列{b_n}满足b_n=6_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），且b₁=a₁+3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{

bn

2n

+1}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足对任意n∈N^*，均有a_n+1=

c1

b1+2

+

c2

b2+22

+

c3

b2+23

+…+

cn

bn+2n

成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）本题考查由数列的前n项和求数列的通项，解题时要注意验证当n=1时，是否成立，若成立写成一个表达式，若不成立则要分段写出通项．
（2）构造一个新数列，要求证明数列是一个等比数列，这种问题一般用等比数列的定义，即用后一项比前一项，若得到的结果是一个常数，得到数列是等比数列．
（3）根据上一问得到的结果，写出分式的分母的最简结果，根据数列的定义得到新数列的通项，注意是一个分段形式，用等比数列的前n项和公式得到结果．

解答： （1）解：∵点（n，s_n）在函数y=x²的图象上，
∴s_n=n²（n∈N^*）
当n=1时，a₁=s₁=1²=1，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，a₁=1也适合，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）；
（2）证明：∵b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2），
∴

bn

2n

+1=3•

bn-1

2n-1

+3，即

bn

2n

+1=3（

bn-1

2n-1

+1），
∵b₁=a₁+3=4，

b1

2

+1=3，
∴{

bn

2n

+1}是其首项为3，公比为3的等比数列，
∴

bn

2n

+1=3•3^n-1=3ⁿ，
则b_n=6ⁿ-2ⁿ（n∈N^*）；
（3）由（2）得b_n+2ⁿ=6ⁿ
由题意得，任意n∈N^*，均有a_n+1=

c1

b1+2

+

c2

b2+22

+

c3

b2+23

+…+

cn

bn+2n

成立，
∴a_n=

c1

b1+2

+

c2

b2+22

+

c3

b2+23

+…+

cn-1

bn-1+2n-1

，（n＞1）
∴a_n+1-a_n=

cn

bn+2n

=2，则c_n=2•6ⁿ（n＞1），
∴c_n=

18，n=1 2•6n，n≥2

，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀=18+2（6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁰）=6+2（6¹+6²+6³+…+6²⁰¹⁰）
=6+2•

6(1-62010)

1-6

=

2•62011+18

5

=

2

5

（6²⁰¹¹+9）．

点评：有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现．