Question

已知椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，过它的右焦点引倾斜角为

π

4

的直线l交椭圆于P，Q两点，P，Q，到椭圆的右准线的距离之和为

8

3

，它的左焦点到l的距离为

2

，它的左焦点到l的距离为

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），左焦点F₁（-c，0），右焦点F₁（c，0），（c＞0）直线l的方程为y=（x-c）tan

π

4

，即y=x-c，由（-c，0）到l的距离为

2

，得c=1，从而椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，联立

y=x-c x2 a2 + y2 a2-1 =1

，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0，由此能求出椭圆方程．

解答： 解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
左焦点F₁（-c，0），右焦点F₁（c，0），（c＞0）
直线l的方程为y=（x-c）tan

π

4

，即y=x-c，
由（-c，0）到l的距离为

2

，
得

|-c-c|

2

=

2

，解得c=1，
∴椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
联立

y=x-c x2 a2 + y2 a2-1 =1

，消去y，整理，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0，
∴x1+x2=

2a2

2a2-1

，①，
P，Q到右准线距离之和为：

a2

c

-x1+

a2

c

-x2=

8

3

，
∴x1+x2=2a2-

8

3

，②
由①②得a²=2，∴b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．