题目内容

（1）设0＜x＜2，求函数y=
x(4-2x)
的最大值；
（2）求
4
a-2
+a的取值范围；
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1．求
3
x
+
4
y
的最小值．
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：（1）由基本不等式可得y=
x(4-2x)
=
2
•
x(2-x)
≤
2
•
x+2-x
2
=
2
，验证等号成立的条件即可；
（2）当a＞2时，
4
a-2
+a=
4
a-2
+a-2+2≥2
4
a-2
•(a-2)
+2=6，当a＜2时，
4
a-2
+a=-（
4
2-a
+2-a）+2≤-2
4
2-a
•(2-a)
+2=-2，综合可得；
（2）
3
x
+
4
y
=（
3
x
+
4
y
）（x+y）=7+
3y
x
+
4x
y
≥7+2
3y
x
•
4x
y
=7+4
3
，验证等号成立的条件即可．
解答： 解：（1）∵0＜x＜2，∴0＜4-2x＜4，
∴y=
x(4-2x)
=
2
•
x(2-x)
≤
2
•
x+2-x
2
=
2
，
当且仅当x=2-x即x=1时取等号，
∴函数y=
x(4-2x)
的最大值为
2
；
（2）当a＞2时，
4
a-2
+a=
4
a-2
+a-2+2≥2
4
a-2
•(a-2)
+2=6，
当且仅当
4
a-2
=a-2即a=4时取等号，
当a＜2时，
4
a-2
+a=
4
a-2
+a-2+2=-（
4
2-a
+2-a）+2
≤-2
4
2-a
•(2-a)
+2=-2，
当且仅当
4
2-a
=2-a即a=0时取等号，
∴
4
a-2
+a的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）；
（2）∵x＞0，y＞0，且x+y=1．
∴
3
x
+
4
y
=（
3
x
+
4
y
）（x+y）=7+
3y
x
+
4x
y

≥7+2
3y
x
•
4x
y
=7+4
3

当且仅当
3y
x
=
4x
y
时取等号，
∴
3
x
+
4
y
的最小值为：7+4
3
点评：本题考查基本不等式求最值，注意等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=2，an=an+1+
3
2
anan+1（n∈N*）．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）若
1
bn
是
1
an
和1的等差中项，求通项bn；
（3）在（2）的条件下，设数列{bnbn+1}的前n项和为Tn，求证：Tn＜
16
9
．
已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（
3
，0）．
（1）当双曲线C的离心率e=
3
（2），求此双曲线C的标准方程；
（3）若双曲线C的一条渐近线方程为X+
2
Y=0，求此双曲线C的标准方程．
函数y=|x|的图象与直线y=a的交点个数（　　）
A、至少有一个
B、至多有两个
C、必有两个
D、有一个或两个
已知ω＞0，函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)在(
π
2
，π)上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A、[
2
3
，
4
3
]
B、[
2
3
，
3
4
]
C、(0，
2
3
]
D、(0，
3
2
]
已知函数f（x）=x+
m
x
，且此函数图象过点（1，5）．
（1）求实数m的值；
（2）判断f（x）奇偶性．
若函数f（x）=2x-
a
x
在定义域（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围
 
．
样本a1，a2，L，a10的平均数为
.
a
，样本b1，L，b10的平均数为
.
b
，则样本a1，b1，a2，b2，L，a10，b10的平均数为（　　）
A、
.
a
+
.
b
B、
1
2
（
.
a
+
.
b
）
C、2（
.
a
+
.
b
）
D、
1
10
（
.
a
+
.
b
）
已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log 
1
2
x，则不等式f（x）≤2的解集是
 
．

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