Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n+1+

3

2

a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）若

1

bn

是

1

an

和1的等差中项，求通项b_n；
（3）在（2）的条件下，设数列{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

16

9

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

an+1

-

1

an

=

3an+2

2an

-

1

an

=

3

2

，由此能证明数列{

1

an

}为等差数列．
（2）由

1

an

=

1

2

+

3

2

(n-1)=

3n-2

2

，

1

bn

是

1

an

和1的等差中项，能求出bn=

4

3n

．
（3）由b_nb_n+1=

4

3n

•

4

3(n+1)

=

16

9

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能证明T_n＜

16

9

．

解答： （1）证明：由已知得，an+1=

2an

3an+2

…（1分）
∴

1

an+1

-

1

an

=

3an+2

2an

-

1

an

=

3

2

，…（3分）
∴数列{

1

an

}是等差数列，公差d=

3

2

，首项为

1

a1

=

1

2

．…（4分）
（2）解：由（1）知，

1

an

=

1

2

+

3

2

(n-1)=

3n-2

2

，…（6分）
又∵

1

bn

是

1

an

和1的等差中项，
∴

2

bn

=

1

an

+1=

3n-2

2

+1=

3n

2

，…（8分）
∴bn=

4

3n

．…（9分）
（3）证明：由（2）知，b_nb_n+1=

4

3n

•

4

3(n+1)

=

16

9

(

1

n

-

1

n+1

)，…（11分）
∴T_n=

16

9

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

16

9

(1-

1

n+1

)…（13分）
∵n∈N^*，∴0＜1-

1

n+1

＜1，
从而T_n＜

16

9

．…（14分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．