Question

3．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式$\frac{2}{x}$$+\frac{1}{y}$＞m²+2m成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≥4或m≤-2
• B． m≥2或m≤-4
• C． -2＜m＜4
• D． -4＜m＜2

Answer 1

分析 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+4$≥4+2\sqrt{4}$=8．不等式$\frac{2}{x}$$+\frac{1}{y}$＞m²+2m成立?m²+2m＜$（\frac{2}{x}+\frac{1}{y}）_{min}$，即可求得实数m的取值范围

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+2y=1，∴$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+4$≥4+2\sqrt{4}$=8．（当$\frac{4y}{x}=\frac{x}{y}，即x=2y=\frac{1}{2}时，取等号）$
∵不等式$\frac{2}{x}$$+\frac{1}{y}$＞m²+2m成立，∴m²+2m＜8，求得-4＜m＜2
故选：D

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属于中档题．