Question

13．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，$（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}）（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}）=4$，数列{b_n}满足$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}$，记{b_n}的前n项和为T_n，则T₂₀的值为2．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4，运用等差数列的通项公式可得$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4n-3，求得b_n=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{4n+1}$-$\sqrt{4n-3}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：a₁=1，$（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}）（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}）=4$，
可得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4，
即有$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
由题意可得a_n=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}}$，
$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}$=$\frac{4}{\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\frac{4}{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}$，
则b_n=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{4n+1}$-$\sqrt{4n-3}$），
则T₂₀=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{5}$-1+3-$\sqrt{5}$+$\sqrt{13}$-3+…+9-$\sqrt{77}$）=$\frac{1}{4}$×（9-1）
=2．
故答案为：2．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查等差数列的通项公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．