Question

8．设函数f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx$-\frac{1}{2}$cosx+1
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，且f（x）=$\frac{1}{3}$，求cosx的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，求得cosx的值．

解答 解：（1）函数f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx$-\frac{1}{2}$cosx+1=-sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，故该函数的最小正周期为2π，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，可得函数的增区间为[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，又f（x）=$\frac{1}{3}$，即-sin（x+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{1}{3}$，即sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∴cos（x+$\frac{π}{6}$）=±$\sqrt{{1-sin}^{2}（x+\frac{π}{6}）}$=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
若cos（x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，则cosx=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（x+$\frac{π}{6}$） cos$\frac{π}{6}$+sin（x+$\frac{π}{6}$） sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{2-\sqrt{15}}{6}$＜0，不合题意，舍去．
若cos（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，则cosx=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（x+$\frac{π}{6}$） cos$\frac{π}{6}$+sin（x+$\frac{π}{6}$） sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{15}}{6}$．
综上可得，cosx=$\frac{2+\sqrt{15}}{6}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性和单调性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．