Question

12．已知函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（-1，3），且关于直线x=1对称
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若m＜3，求函数f（x）在区间[m，3]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（-1，3），且关于直线x=1对称，列出方程组，能求出b和c，由此能求出结果．
（Ⅱ）根据1≤m＜3，-1≤m＜1，m＜-1三种情况分类讨论，能求出f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（-1，3），且关于直线x=1对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-b+c=3}\\{-\frac{b}{2}=1}\end{array}\right.$，
解得b=-2，c=0，
∴f（x）=x²-2x．
（Ⅱ）当1≤m＜3时，f（x）_min=f（m）=m²-2m，
f（x）_max=f（3）=9-6=3，
∴f（x）的值域为[m²-2m，3]；
当-1≤m＜1时，f（x）_min=f（1）=1-2=-1，
f（x）_max=f（-1）=1+2=3，
∴f（x）的值域为[-1，3]．
当m＜-1时，f（x）_min=f（1）=1-2=-1，
f（x）_max=f（m）=m²-2m，
∴f（x）的值域为[-1，m²-2m]．

点评 本查题考查二次函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．