Question

点P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到直线12x-5y+14=0的距离与到直线x=-1的距离和的最小值是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，过点P作PM⊥l，l为抛物线的准线：x=-1．作PN⊥直线m，直线m的方程为：12x-5y+14=0．设抛物线的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可知：|PM|=|PF|，可得|PN|+|PM|=|PN|+|PF|≥|NF|，即当且仅当三点N，P，F共线时|PN|+|PM|取得最小值．

解答： 解：如图所示，
过点P作PM⊥l，l为抛物线的准线：x=-1．作PN⊥直线m，直线m的方程为：12x-5y+14=0．
设抛物线的焦点为F（1，0），
由抛物线的定义可知：|PM|=|PF|，
∴|PN|+|PM|=|PN|+|PF|≥|NF|，
∴当且仅当三点N，P，F共线时|PN|+|PM|取得最小值．
|NF|=

|12×1-0+14|

122+52

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了抛物线的定义域性质、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．