Question

观察下列等式：

3

2

+

1

2

i=cos

π

3

+isin

π

3

，
（

3

2

+

1

2

i）²=cos

2π

3

+isin

2π

3

，
（

3

2

+

1

2

i）³=cosπ+isiπ，
（

3

2

+

1

2

i）⁴=cos

4π

3

+isin

4π

3

，
…
照此规律，可以推测对于任意的n∈N^*，（

3

2

+

1

2

i）ⁿ=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：通过式子的结构特点进行分析，左边是（

3

2

+

1

2

i）的幂的形式，且次数逐项增加，右边都是同角的余正弦，且角是以

π

3

为公差的等差数列，由此可得结果．

解答： 解：观察可知
等式左边是以（

3

2

+

1

2

i）为首项，公比为（

3

2

+

1

2

i）的等比数列，
所以第n行等式左边为（

3

2

+

1

2

i）ⁿ，右边每行都是同角的余弦加正弦，且角是以

π

3

为首项，公差为

π

3

的等差数列，
所以第n行等式右边为cos

nπ

3

+sin

nπ

3

．
故答案为cos

nπ

3

+isin

nπ

3

点评：这是一个考查归纳推理的问题，主要是从式子的结构特点入手分析，例如本题的右端是同角的余弦加正弦，且的角的规律为等差数列，本题不难．