Question

13．已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）=x³-ax²-3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围．
（2）先求导，再根据f′（3）=0，求得a=5，再根据导数求出函数极值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0；
实数a的取值范围是（-∞，0]．
（2）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由题意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3）
令 f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜3，
故f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）_极大值=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{13}{27}$，f（x）_极小值=f（3）=-9．

点评 本题考查函数与导函数的关系，函数的单调性与导数的关系，通过函数的导数求解函数极值，考查转化思想与计算能力．