Question

3．求值：
（1）${[（-1+i）•{i^{100}}+{（\frac{1-i}{1+i}）^5}]^{2017}}-{（\frac{1+i}{{\sqrt{2}}}）^{20}}$
（2）$\int_{-1}^1{[3tanx+sinx-2{x^3}}+\sqrt{16-{{（x-1）}^2}}]dx$．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、周期性化简即可得出．
（2）y=3tanx+sinx-2x³是奇函数，可得$\int_{-1}^1{[3tanx+sinx-2{x^3}}+\sqrt{16-{{（x-1）}^2}}]dx$=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{16-（x-1）^{2}}$dx，即可得出．

解答 解：（1）∵i⁴=1，∴i¹⁰⁰=（i⁴）²⁵=1，
∵$\frac{1-i}{1+i}$=$\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}$=-i，∴（-i）⁵=-i，（-1）²⁰¹⁷=-1．
$（\frac{1+i}{\sqrt{2}}）^{4}$=$（\frac{2i}{2}）^{2}$=-1，∴$（\frac{1+i}{\sqrt{2}}）^{20}$=-1．
${[（-1+i）•{i^{100}}+{（\frac{1-i}{1+i}）^5}]^{2017}}-{（\frac{1+i}{{\sqrt{2}}}）^{20}}$=-1+1=0．
（2）∵y=3tanx+sinx-2x³是奇函数，
∴$\int_{-1}^1{[3tanx+sinx-2{x^3}}+\sqrt{16-{{（x-1）}^2}}]dx$=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{16-（x-1）^{2}}$dx
=$\frac{1}{12}×π×{4}^{2}+\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\frac{4π}{3}$+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、几何意义、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．