Question

1．在△ABC中，若sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，则cosC的最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据正弦、余弦定理，利用基本不等式即求得结论．

解答 解：△ABC中，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，
由正弦定理得a+$\sqrt{2}$b=2c，
∴c=$\frac{1}{2}$（a+$\sqrt{2}$b）；
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}-{\frac{1}{4}（a+\sqrt{2}b）}^{2}}{2ab}$
=$\frac{{\frac{3}{4}a}^{2}+{\frac{1}{2}b}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ab}{2ab}$
=$\frac{3a}{8b}$+$\frac{b}{4a}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≥2$\sqrt{\frac{3a}{8b}•\frac{b}{4a}}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$\frac{3a}{8b}$=$\frac{b}{4a}$，即a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b时，取等号；
∴$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≤cosC＜1，
即cosC的最小值是$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦、余弦定理的应用问题，结合基本不等式的性质是解题的关键．