Question

给出下列命题：
（1）设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
（2）若等比数列的前n项和s_n=2ⁿ+k，则必有k=-1；
（3）若x∈R⁺，则2^x+2^-x的最小值为2；
（4）双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
（5）平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1=0的距离的点的轨迹是抛物线．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,抛物线的定义,双曲线的定义

专题：阅读型,等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）可考虑若k=|AB|，则轨迹为一条射线，即可判断（1）；（2）求出a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n＞1

，即可求出k；
（3）运用基本不等式，注意等号成立的条件，即可判断（3）；（4）分别求出椭圆、双曲线的焦点，即可判断；（5）注意运用抛物线的定义的隐含条件即定点不在定直线上，即可判断．

解答： 解：（1）设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，若k=|AB|，则动点P的轨迹是直线AB上，以B为端点的射线，故（1）错；
（2）若等比数列的前n项和s_n=2ⁿ+k，则a₁=2+k，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ+k-（2^n-1+k）=2^n-1，a₁=1，故k=-1，故（2）正确；
（3）若x∈R⁺，则2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，当且仅当2^x=2^-x=1，即x=0，取等号，由于x＞0，故最小值取不到，故（3）错；
（4）双曲线

x2

25

-

y2

9

=1的焦点为（±

34

，0），椭圆

x2

35

+y²=1的焦点为（±

34

，0），
故（4）正确；
（5）平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1=0的距离的点的轨迹是过定点垂直于已知直线的一直线，而非抛物线，是因为定点在定直线上，故（5）错．
故答案为：（2）（4）．

点评：本题主要考查双曲线、抛物线的定义，注意隐含条件，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查椭圆、双曲线的焦点和等比数列的通项和求和，属于基础题．