Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处且倾斜角为

π

3

的切线方程；
（2）若不等式g（x）＜

x+m

x

有解，求实数m的取值范围；
（3）定义：对于函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的任意实数x₀，称|f（x₀）-g（x₀）|的值为两函数在x₀处的差值．证明：当a=0时，函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有差值都大于2．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用函数f（x）在点（1，f（1））处且倾斜角为

π

3

，先求出a的值，即可求出切线方程；
（2）由题意：e^x＜

x+m

x

有解，即e^x

x

＜x+m有解，因此只需m＞e^x

x

-x，x∈（0，+∞）有解即可；
（3）|f（x）-g（x）|=|ln x-e^x|=e^x-ln x=e^x-x-（ln x-x），设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞），n（x）=ln x-x，x∈（0，+∞），分别确定函数的范围，即可得出结论．

解答： （1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=a+

1

x

（x＞0），…（1分）
∴k=f′（1）=a+1=

3

，
∴a=

3

-1…（2分）
∵f（1）=

3

-1   …（3分）
∴切线为y=

3

x-1；…（4分）
（2）解：由题意：e^x＜

x+m

x

有解，即e^x

x

＜x+m有解，
因此只需m＞e^x

x

-x，x∈（0，+∞）有解即可．…（5分）
设h（x）=e^x

x

-x，h′（x）=e^x

x

+

ex

2 x

-1=e^x（

x

+

1

2 x

）-1，…（6分）
∵

x

+

1

2 x

≥

2

＞1，且x∈（0，+∞）时e^x＞1，
∴e^x（

x

+

1

2 x

）-1＞0，即h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上单调增函数，…（7分）
∴h（x）＞h（0）=0，故m＞0．…（8分）
（3）证明：当a=0时，f（x）=ln x，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
|f（x）-g（x）|=|ln x-e^x|=e^x-ln x=e^x-x-（ln x-x），…（9分）
设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞）．
∵m′（x）=e^x-1＞0，m（x）在（0，+∞）上单调递增，m（x）＞m（0）=1，…（10分）
又设n（x）=ln x-x，x∈（0，+∞），n′（x）=

1

x

-1，
当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）单调递减，
∴x=1为n（x）的极大值点，即n（x）≤n（1）=-1，…（11分）
故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2．
即公共定义域内任一点差值都大于2．…（12分）

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，有难度．