Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（A）=2sin2（A+

π

4

）-cos（2A+

π

6

）的最大值及取得最大值时的A值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式右边利用余弦定理表示，整理后利用正弦定理化简，求出cosB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）f（A）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出最大值，以及此时A的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²，
∴4a²cosB-2accosB=2abcosC，即2acosB-ccosB=bcosC，
利用正弦定理化简得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（Ⅱ）f（A）=2sin²（A+

π

4

）-cos（2A+

π

6

）
=1-cos（2A+

π

2

）-cos（2A+

π

6

）
=1+sin2A-

3

2

cos2A+

1

2

sin2A
=1+

3

2

sin2A-

3

2

cos2A
=1+

3

sin（2A-

π

6

），
在△ABC中，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，f（A）取最大值f（

π

3

）=1+

3

．

点评：此题考查了余弦定理，以及三角函数恒等变换应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．