Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线L：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同交点；
（2）设L与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）若定点P（1，1）分弦AB所得向量满足

AP

=

1

2

PB

，求此时直线L的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）直线L过定点P（1，1）在圆内，即可得出结论；
（2）分类讨论，利用CM⊥MP，可求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）利用

AP

=

1

2

PB

，确定A，B横坐标之间的关系，直线与圆联解，利用韦达定理，即可得出结论．

解答： （1）证明：由于直线L的方程是mx-y+1-m=0，即y-1=m（x-1），经过定点P（1，1）在圆内，
∴对m∈R，直线L与圆C总有两个不同交点；
（2）解：当M不与P重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
设M（x，y），则x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，化简得：x²+y²-x-2y+1=0；
当M与P重合时，满足上式．
（3）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵

AP

=

1

2

PB

，
∴1-x₁=

1

2

（x₂-1），
∴x₂=3-2x₁，
直线与圆联解得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0   （*）
∴x₁+x₂=

2m2

1+m2

∴可得x1=

3+m2

1+m2

，
代入（*）得m=±1直线方程为x-y=0或x+y-2=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题．