Question

1．已知f（x）=2sin²x+$\sqrt{3}$sin2（$\frac{π}{2}$-x）．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称中心．

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦函数与余弦函数，以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式为：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（1）将x=$\frac{π}{6}$代入求值即可；
（2）用$\frac{2π}{ω}$求最小正周期，令其函数值等于0，求出x的值，由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，可求出对称中心坐标．

解答 解：f（x）=2sin²x+$\sqrt{3}$sin2（$\frac{π}{2}$-x）．
=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
（1）f（$\frac{π}{6}$）=2sin（2×$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+1=2sin$\frac{π}{6}$+1=2×$\frac{1}{2}$+1=2；
（2）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π．即函数f（x）的最小正周期是π．
当时2x-$\frac{π}{6}$=kπ，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$时，f（x）=0
函数f（x）图象的对称中心（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，1），k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，属于中档题．