Question

10．设函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-x．
（1）当a=-2时，求f（x）的极值；
（2）当a=1时，证明：f（x）-$\frac{1}{e^x}$+x＞0在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用导数求出原函数的单调性，即可求出f（x）的极值；
（2）证明f（x）-$\frac{1}{e^x}$+x＞0在（0，+∞）上恒成立，即证$xlnx+1＞\frac{x}{e^x}$，实际是比较左边函数的最小值与右边函数的最大值，利用导数求出左边函数的最小值与右边函数的最大值；

解答 解：（1）当a=-2时，$f（x）=lnx-\frac{2}{x}-x，f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-1=-\frac{{（{x-2}）（{x+1}）}}{x^2}$，
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
∴f（x）在x=2处取得极大值f（2）=ln2-3，f（x）无极小值；
（2）当a=1时，$f（x）-\frac{1}{e^x}+x=lnx+\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}$，
下面证$lnx+\frac{1}{x}＞\frac{1}{e^x}$，即证$xlnx+1＞\frac{x}{e^x}$，
设g（x）=xlnx+1，则g'（x）=1+lnx，
在$（{0，\frac{1}{e}}）$上，g'（x）＜0，g（x）是减函数；在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以$g（x）≥g（{\frac{1}{e}}）=1-\frac{1}{e}$，
设$h（x）=\frac{x}{e^x}$，则$h'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
在（0，1）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数；在（1，+∞）上，h'（x）＜0，h（x）是减函数，
所以$h（x）≤h（1）=\frac{1}{e}＜1-\frac{1}{e}$，
所以h（x）＜g（x），即$\frac{x}{e^x}＜xlnx+1$，所以$xlnx+1-\frac{x}{e^x}＞0$，即$lnx+\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}＞0$，
即$f（x）-\frac{1}{e^x}+x＞0$在（0，+∞）上恒成立．

点评 本题主要考查了导数在函数单调性中的应用、函数的最值以及构造新函数等综合知识点，属中等题．