Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3成立．
（1）求证：存在实数λ使得数列{a_n+λ}为等比数列；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的定义通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$+1-3，解得a₁=4．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n+n-3-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}+n-1-3）$，化为a_n=3a_n-1+2，
变形为：a_n+1=3（a_n-1+1），
因此取λ=1，则数列{a_n+1}为等比数列，首项为5，公比为3．
（2）由（1）可得：a_n+1=5×3^n-1，可得a_n=5×3^n-1-1，
∴na_n=5n×3^n-1-n．
数列{na_n}的前n项和T_n=5（1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1）-$\frac{n（n+1）}{2}$．
设A_n=1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1，
∴3A_n=3+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，
-2A_n=1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n×3ⁿ，
∴A_n=$\frac{（2n-1）×{3}^{n}+1}{4}$．
∴T_n=$\frac{5（2n-1）×{3}^{n}+5}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．