Question

12．已知A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax²-x+b=0}，B≠∅，B⊆A，求实数a、b的值．

Answer 1

分析 确定集合A的元素，B≠∅，B⊆A根据集合的基本运算即可求．

解答 解：集合A={x|x²-3x+2=0}={2，1}，
∵B≠∅，
∴ax²-x+b=0有解
又∵B⊆A
①当只有一个解为1时，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{△={b}^{2}-4ac=0}\\{a+b-1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-4ab=0}\\{a+b-1=0}\end{array}\right.$，
解得：a=b=$\frac{1}{2}$．
②当只有一个解为2时，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{△={b}^{2}-4ac=0}\\{4a+b-2=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-4ab=0}\\{4a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$
③当有两个解时，即x₁=1，x₂=2，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-1=0}\\{4a+b-2=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
综上所得：实数a、b的值为a=b=$\frac{1}{2}$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查集合的基本运算，考查了二次方程有解的分类讨论思想．属于中档题．