Question

已知函数f（x）=

sinπx，x∈[0，1] log2013x，x∈(1，+∞)

，若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：先判断函数的性质以及图象的特点，利用数形结合的思想去解决．

解答： 解：当0≤x＜1时，函数f（x）=sinπx的对称轴为x=

1

2

．
当x=1时，由log₂₀₁₃x=1，解得x=2013．
若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，
因为f（a）=f（b）=f（c），
所以由图象可知0＜a＜

1

2

，

1

2

＜b＜1，1＜c＜2013，
且

a+b

2

=

1

2

，即a+b=1，
所以a+b+c=1+c，
因为1＜c＜2013，
所以2＜1+c＜2014，
即2＜a+b+c＜2014，
所以a+b+c的取值范围是（2，2014）．
故答案为：（2，2014）．

点评：本题主要考查函数与方程的应用，考查三角函数的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．