Question

已知n（n∈N^*）满足3

C

n-5 n-1

=5

P

2 n-2

，整数a是413+

C

1 13

412+

C

2 13

411+…+

C

12 13

4除以6的余数．
（1）求n和a的值；
（2）求(x2+

a

x

)n二项展开式中二项式系数最大的项；
（3）利用二项式定理，求函数F(x)=(x2+

a

x

)5+(

1

x2

+ax)5在区间[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,二项式定理

分析：（1）运用组合数公式和排列数公式，求出n=9，再由二项式定理求得a=4；
（2）根据二项式系数的性质，中间项的二项式系数最大，即第5、6项均为所求；
（3）运用二项式定理展开，合并，再由函数y=xⁿ+

1

xn

（n为正整数）在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，即可得到最小值．

解答： 解：（1）3

C

n-5 n-1

=5

P

2 n-2

，即为3

C

4 n-1

=5（n-2）（n-3），
3•

(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

24

=5（n-2）（n-3），即n²-5n-36=0，
解得，n=9（-4舍去），
413+

C

1 13

412+

C

2 13

411+…+

C

12 13

4=（4+1）¹³-1=5¹³-1
=（6-1）¹³-1=6¹³-

C

1 13

6¹²+…+

C

12 13

•6-1-1，
上式显然前13项均为6的倍数，则余数为a=-2+6=4．
故有n=9，a=4；
（2）(x2+

a

x

)n二项展开式即为（x²+

4

x

）⁹的通项公式为：
T_r+1=

C

r 9

(x2)9-r(

4

x

)r（r=0，1，2，…，9）
由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项为：
T₅=

C

4 9

(x2)5(

4

x

)4=32256x⁶，T₆=

C

5 9

(x2)4(

4

x

)5=129024x³；
（3）函数F（x）=（x²+

4

x

）⁵+（

1

x2

+4x）⁵=（x¹⁰+

1

x10

）+

C

1 5

•4（x⁷+

1

x7

）+

C

2 5

•42•（x⁴+

1

x4

）+

C

3 5

•43•（x+

1

x

）+

C

4 5

•44•（

1

x2

+x²）+45•（

1

x5

+x⁵），
由于y=xⁿ+

1

xn

（n为正整数）在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，
则当x=1时，y取得最小值．
则F（x）在[

1

2

，1）上递减，在（1，2]上递增，
则F（1）最小，且为（1+4）⁵+（1+4）⁵=6250．

点评：本题考查二项式定理的运用：求某项的系数以及整除问题，考查函数的单调性及应用，考查二项式系数的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．