Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E，F分别为PC，BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥F-DEC的体积；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（I）连接AC交BD于F，利用三角形的中位线定理即可得到EF∥AP，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）取AD的中点O，连接OP．由等腰三角形的性质可得PO⊥AD，再利用面面垂直的性质可得PO⊥底面ABCD，计算出三棱锥F-DEC的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
（III）设点G为AB中点满足条件，利用三角形的中位线定理可证明FG∥AD，再利用（I）的结论和面面平行的判定定理即可证明平面EFG∥平面PAD．利用面面垂直的性质可证明CD⊥平面PAD．再利用面面垂直的性质定理即可得到结论．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：如图，取AD的中点O，连接OP．
∵PA=AD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
∵E为PC的中点，
∴三棱锥F-DEC的高为h=

1

2

PO，
∵PA=PD=

2

2

AD，且AD=a，
∴PO=

a

2

，
∴h=

a

4

，
∴三棱锥F-DEC的体积是V_E-FDC=

1

3

S_△FDCh=

1

3

•

1

2

a•

1

2

a•

1

4

a=

1

48

a3；
（Ⅲ）解：存在点G满足条件，证明如下：
设点G为AB中点，连接EG、FG．
由F为BD的中点，∴FG∥AD，
由（I）得EF∥PA，且FG∩EF=F，AD∩PA=A，
∴平面EFG∥平面PAD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥平面EFG．
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面EFG．
AB的中点G为满足条件的点．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、面面平行的判定和性质定理、面面垂直的性质是解题的关键．