Question

【题目】已知奇函数的定义域为，其中为指数函数且过点．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数的单调性，并用函数单调性定义证明．

（3）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；（2）在上单调递减，见解析；（3）

【解析】

（1）为指数函数且过点，可以利用待定系数法求出的表达式，代入到中，还有一个参数，题中还有一个条件：定义域为上的奇函数，又得出一个相应的等量关系.

（2）用定义法去证明函数的单调性问题，可以“程序化”

1.取值； 2.作差（也有作商）；3比较大小（作差和0比较，作商和1做对比）；4下结论.

（3）由（2）已经判断函数是单调的奇函数，可以转化为：这样就能转化为相应不等式，进而完成本题.

（1）设，由的图象过点，

可得，∴，．故函数．

再根据为奇函数，可得，

∴，即.

（2）∵．

设，则，由于，

结合，可得，

∴，即，故在上单调递减．

（3）且为奇函数，所以

又在上单调递减，所以对恒成立，

所以对对恒成立，令

所以，所以