Question

【题目】已知函数（）

（1）若在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．求a，b的值；

（2）在（1）条件下，若在区间上，不等式f（x） 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) a=b=1;(2) 实数m的取值范围是（-∞，-1）.

【解析】试题分析：（1）由于对称轴为x=2，所以根据二次函数图像可确定最值取法，列方程组解得a，b的值；（2）分离参变得x 2-3x+1＞ m，只要解x 2-3x+1在上最小值，即得实数m的取值范围．

试题解析：（1）

f（x）=a（x2-4x）+b=a（x-2）2+b-4a

∵a＞0，∴函数图象开口向上，对称轴x=2，

∴f（x）在[0，1]递减；∴f（0）=b=1，且f（1）=b-3a=-2，∴a=b=1；

（2）f（x）＞-x+m等价于 x 2-4x+1＞-x+m，

即 x 2-3x+1-m＞0，要使此不等式在上恒成立，

只需使函数g（x）=x2-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0即可．

∵g（x）=x2-3x+1-m在[-1，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0得，m＜-1．

因此满足条件的实数m的取值范围是（-∞，-1）．