Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，

∴PD⊥AC，

底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，

又AC平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB．

（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），

=（0，2，0）， =（﹣1，1，2），

取平面ABC的一个法向量为 ，

设平面ABE的法向量 ，则 ，可得 ，取 =（2，0，1）．

∴ = = = ．

∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性质可得：AC⊥BD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．