Question

【题目】如图，直角梯形中， ， ， ， ， 底面， 底面且有.

（1）求证： ；

（2）若线段的中点为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据线段长度的关系得到， ， 、是平面内的相交直线， 平面，进而得到线线垂直；（2）常用的方法是建系，建立空间坐标系，求得直线的方向向量和面的法向量，根据向量的夹角公式得到线面角.

解析：

（1），

，且是等腰直角三角形，

平面中， ，

，可得

，即

底面， 底面，

、是平面内的相交直线， 平面

平面，

（2）解法一：几何法

如图，过点作，垂足为，连接， ，

， ， ， 平面，

平面，

结合且，可得平面

是在平面内的射影，

可得就是直线与平面所成的角.

中， ，

中，

， ， ，可得

因此，在中，

即直线与平面所成角的正弦值是.

解法二：向量法

如图，以点为坐标原点，直线为轴， 为轴建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ，

所以：

设平面的一个法向量为，由

可取

设直线与平面所成角为，则

.