Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在x0满足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|2x+1|，．

由f（x）≥5得x﹣2|+|2x+1|≥5．

当x≥2时，不等式等价于x﹣2+2x+1≥5，解得x≥2，所以x≥2；

当﹣ ＜x＜2时，不等式等价于2﹣x+2x+1≥5，即x≥2，所以此时不等式无解；

当x≤﹣ 时，不等式等价于2﹣x﹣2x﹣1≥5，解得x≤﹣ ，所以x≤﹣ ．

所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣ ]∪[2，+∞）．

（2）解：f（x）+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+a|=|2x﹣4|+|2x+a|≥|2x+a﹣（2x﹣4）|=|a+4|

因为原命题等价于（f（x）+|x﹣2|）min＜3，

所以|a+4|＜3，所以﹣7＜a＜﹣1为所求实数a的取值范围

【解析】（1）当a=1时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式f（x）≥5；（2）求出f（x）+|x﹣2|的最小值，根据不等式的关系转化为（f（x）+|x﹣2|）min＜3即可求a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．