Question

【题目】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．

（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S= ADAE，求∠BAC的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知△ABC的角平分线为AD，

可得∠BAE=∠CAD

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

所以∠AEB=∠ACD

故△ABE∽△ADC

（2）解：（因为△ABE∽△ADC，

所以 ，

即ABAC=ADAE．

又S= ABACsin∠BAC，

且S= ADAE，

故ABACsin∠BAC=ADAE．

则sin∠BAC=1，

又∠BAC为三角形内角，

所以∠BAC=90°．

【解析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积 转化为S= ABAC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．