Question

18．已知$\overrightarrow a$=（sin（x+$\frac{π}{3}$），sin（x-$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow b$=（cos（x-$\frac{π}{6}$），cos（x+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{5}{13}$，且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，则sin2x的值为（　　）

• A． $\frac{{5\sqrt{3}+12}}{26}$
• B． $\frac{{5\sqrt{3}-12}}{26}$
• C． $\frac{{5+12\sqrt{3}}}{26}$
• D． $\frac{{5-12\sqrt{3}}}{26}$

Answer 1

分析 先根据向量的数量积和两角和的正弦公式求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{5}{13}$，根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式，即可求出．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（sin（x+$\frac{π}{3}$），sin（x-$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow b$=（cos（x-$\frac{π}{6}$），cos（x+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{5}{13}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）•cos（x-$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）•cos（x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{5}{13}$，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{12}{13}$，
∴sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2x+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{5}{13}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{12}{13}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$，
故选：B

点评 本题考查了同角的三角函数的关系，以及两角和差的正弦公式，属于中档题．