Question

8．已知平行四边形ABCD中，AB=2，E为AB的中点，且△ADE是等边三角形，沿DE把△ADE折起至A₁DE的位置，使得A₁C=2．

（1）F是线段A₁C的中点，求证：BF∥平面A₁DE；
（2）求证：A₁D⊥CE；
（3）求点A₁到平面BCDE的距离．

Answer 1

分析 （1）取A₁D的中点G，连结EG，FG，推导出四边形BFGE是平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明BF∥平面A₁DE．
（2）推导出CE⊥DE，CE⊥A₁E，从而CE⊥平面A₁DE，由此能证明A₁D⊥CE．
（3）设点A₁到平面BCDE的距离为h，由${V}_{{A}_{1}CDE}={V}_{C-{A}_{1}DB}$，能求出点A₁到平面BCDE的距离．

解答 证明：（1）取A₁D的中点G，连结EG，FG，
∵F为A₁C的中点，∴FG∥CD，且FG=$\frac{1}{2}CD$，
∵BE∥CD，且BE=$\frac{1}{2}CD$，∴FG$\underset{∥}{=}$BE，
∴四边形BFGE是平行四边形，∴BF∥EG，
∵EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE，
∴BF∥平面A₁DE．
（2）折叠前，∠AED=60°，∠CEB=∠ECB=30°，∴∠CED=90°，
在四棱锥A₁-BCDE中，CE⊥DE，
在△BCE中，BC=BE=1，∠B=120°，
由余弦定理得CE=$\sqrt{3}$，
又A₁E=1，A₁C=2，由勾股定理的逆定理得∠CEA₁=90°，
∴CE⊥A₁E，∵DE∩A₁E=E，∴CE⊥平面A₁DE，
∵A₁D?平面A₁DE，∴A₁D⊥CE．
解：（3）由（2）知CE⊥平面A₁DE，
设点A₁到平面BCDE的距离为h，
由${V}_{{A}_{1}CDE}={V}_{C-{A}_{1}DB}$，得$\frac{1}{3}{S}_{△CDB}•h=\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}DB}•CE$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×CE×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{A}_{1}D×EG×CE$，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴点A₁到平面BCDE的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查线面平行、线线平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题．