题目内容
15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+3m，x∈[{0，+∞}）$，若f（x）+5≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）| A． | $[{\frac{17}{9}，+∞}）$ | B． | $（{\frac{17}{9}，+∞}）$ | C． | （-∞，2] | D． | （-∞，2） |
分析 要找m的取值使f（x）+5≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的最小值点，得到函数f（x）的最小值，即可求出m的取值范围．
解答 解：因为函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-2x2+3m，所以f′（x）=x2-4x．
令f′（x）=0得x=0或x=4，
经检验知x=4是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（4）=3m-$\frac{32}{3}$．
不等式f（x）+5≥0恒成立，即3m-$\frac{32}{3}$+5≥0恒成立，
解得m≥$\frac{17}{9}$．
故选：A．
点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．
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18．已知$\overrightarrow a$=（sin（x+$\frac{π}{3}$），sin（x-$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow b$=（cos（x-$\frac{π}{6}$），cos（x+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{5}{13}$，且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，则sin2x的值为（ ）
| A． | $\frac{{5\sqrt{3}+12}}{26}$ | B． | $\frac{{5\sqrt{3}-12}}{26}$ | C． | $\frac{{5+12\sqrt{3}}}{26}$ | D． | $\frac{{5-12\sqrt{3}}}{26}$ |
10．长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直经为（ ）
| A． | 4 | B． | 6 | C． | 4或$\sqrt{51}$ | D． | 6或$\sqrt{53}$ |
7．设$\overrightarrow a=（-3，m），\overrightarrow b=（4，3）$，若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是钝角，则实数m的范围是（ ）
| A． | m＞4 | B． | m＜4 | C． | m＜4且$m≠\frac{9}{4}$ | D． | m＜4且$m≠-\frac{9}{4}$ |
4．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：
那么函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（ ）
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| f（x） | 123.5 | 21.5 | -7.82 | 11.57 | -53.7 | -126.7 | -129.6 |
| A． | 5个 | B． | 4个 | C． | 3个 | D． | 2个 |