Question

3．设函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a$=（2cosx，1），$\overrightarrow b$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得函数f（x）的最小正周期及单调增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=（2cosx，1）•（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，f（x）∈[1-$\sqrt{3}$，3]，
即函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值为3，最小值为1-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性、定义域和值域，属于中档题．