Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+2=3a_n+1-2a_n，数列{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，则$\frac{lg{b}_{n+2}-lg{b}_{n+1}}{lg{b}_{n+1}-lg{b}_{n}}$=1．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=3，且a_n+2=3a_n+1-2a_n，a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），即b_n+1=2b_n，b₁=2．利用等比数列的通项公式可得b_n，进而得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=3，且a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），即b_n+1=2b_n，b₁=2．
∴数列{b_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴b_n=2ⁿ．
则$\frac{lg{b}_{n+2}-lg{b}_{n+1}}{lg{b}_{n+1}-lg{b}_{n}}$=$\frac{lg\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n+1}}}{lg\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}}$=$\frac{lg2}{lg2}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、对数函数的运算性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．