如图，已知PC是∠APB的平分线，点O是PB边上的一点，以O为圆心，OP长为半径画圆，⊙O分别交PA、PB、PC于A、B、C三点，过点C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AD=1，AP=7，求线段CD的长．

如图1，AB是⊙O的直径，点E是弧AD上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AD=6，CD=2．
①求BD的长；
②如图2所示，请求出阴影部分的面积．

 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4，AC=AD时，求CD的长．

如图，△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．
求证：△FAB是等边三角形．

已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题．
（1）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，两直角边分别与OA，OB交于M，N，如图①，求证：PM=PN；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，一条直角边与OB交于N，另一条直角边与射线OA的反向延长线交于点M，并猜想此时①中的结论PM=PN是否成立，并说明理由．

如图，AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若∠ADB=60°，EO=10，则∠DBC=（　　）

已知，如图（1）所示，△ABC的∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，
（1）DE∥BC交BA的延长线于E，交CA延长线于F，求证：CF=EF+BE；
（2）如图（2），在（1）的条件下，∠ACB=30°，∠ABC=90°，DE=2，求△FCD的面积．

图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC的延长线于G，请你猜想BF与CG的关系，并说明为什么．

正方形ABCD和正方形A′B′C′D′边长均为（2+

2

）（3+

3

），中心O各边都互相重合．

（1）正方形A′B′C′D′绕着中心O，逆时针方向旋转45°时（如图1），求证：△AEF≌△A′GF．
（2）正方形A′B′C′D′绕着中心O，逆时针方向旋转任意锐角时（如图2），
①指出△AEF的不变量；
②当锐角由30°到45°时求△AEF面积的取值范围．

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．