Question

12．如图1，已知抛物线L_：y=ax²+bx-$\frac{3}{2}$（a＞0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x=1（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax²+bx-$\frac{3}{2}$=0的解．
（2）求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．
（3）如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的頂点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m
①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．
②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？
③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²+bx-$\frac{3}{2}$（a＞0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴为直线l：x=1，根据抛物线的对称性可求得B点坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系可得A、B两点横坐标的值即为一元二次方程ax²+bx-$\frac{3}{2}$=0的解；
（2）把A、B两点的坐标代入y=ax²+bx-$\frac{3}{2}$，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，得到抛物线L的解析式，再利用配方法化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；
（3）作PC⊥l于点C．
①根据点P是抛物线L上的一个动点及（2）中所求解析式，当m=5时，把x=5代入y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，求出y=6，得到P点坐标，从而得到点C的坐标，由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式，再求出点N的坐标，通过计算得出CM=CN，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN；
②根据点P是抛物线L上的一个动点及（2）中所求解析式，得出点P的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$），从而得到点C的坐标，由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$，再求出点N的坐标，通过计算得出CM=CN，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN；
③当△PMN为等边三角形时，根据等腰三角形三线合一的性质得出PC平分∠MPN，即∠CPN=30°，利用正切函数定义得出$\frac{CN}{PC}$=tan30°，即$\frac{1}{2}$m²-m+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m-1），解方程求出m的值，进而得到点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，∵y=ax²+bx-$\frac{3}{2}$（a＞0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴为直线l：x=1，
∴点A和点B关于直线l：x=1对称，
∴点B（3，0），
∴一元二次方程ax²+bx-$\frac{3}{2}$=0的解为x₁=-1，x₂=3；

（2）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-$\frac{3}{2}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-\frac{3}{2}=0}\\{9a+3b-\frac{3}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
抛物线L的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
配方得，y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
所以顶点M的坐标为（1，-2）；

（3）如图2，作PC⊥l于点C．
①∵y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
∴当m=5，即x=5时，y=6，
∴P（5，6），
∴此时L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6，点C的坐标是（1，6）．
∵当x=1时，y=14，
∴点N的坐标是（1，14）．
∵CM=6-（-2）=8，CN=14-6=8，
∴CM=CN．
∵PC垂直平分线段MN，
∴PM=PN；

②PM=PN仍然成立．
由题意有点P的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$）．
∵L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标是（1，$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$），
∴CM=$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$+2=$\frac{1}{2}$m²-m+$\frac{1}{2}$．
∵在L′的解析式y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$中，
∴当x=1时，y=m²-2m-1，
∴点N的坐标是（1，m²-2m-1），
∴CN=（m²-2m-1）-（$\frac{1}{2}$m²-m-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$m²-m+$\frac{1}{2}$，
∴CM=CN．
∵PC垂直平分线段MN，
∴PM=PN；

③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．
若$\frac{CN}{PC}$=tan30°，则$\frac{1}{2}$m²-m+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m-1），
解得m=$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，
所以点P的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，-$\frac{4}{3}$）．

点评 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求抛物线的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，解析式平移的规律，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．