Question

4．已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$和一次函数y=mx的图象都经过第一象限的点A，点B在x轴正半轴上，O是坐标原点，△ABO是直角边长为2的等腰直角三角形．
（1）实数k和m的值；
（2）设点C（-m，k），求经过点C的反比例函数图象的解析式，并说出满足条件的反比例函数图象的共同特征（至少2个）．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以分两种情况，然后画出相应的图形，从而可以得到k和m的值；
（2）由（1）可知两种情况下的点C的坐标，从而可以分别求出相应的反比例函数的解析式，进而可以写出满足条件的反比例函数图象的共同特征．

解答 解：（1）当∠ABO=90°且OB=AB时，如右图（1）所示，
∵OB=AB=2，
∴点A（2，2），
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$和一次函数y=mx的图象都经过第一象限的点A，
∴$2=\frac{k}{2}$，2=2m，
解得，k=4，m=1；
当∠OAB=90°且OA=AB=2时，如图（2）所示，
则∠AOB=45°，
∴点A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$和一次函数y=mx的图象都经过第一象限的点A，
∴$\sqrt{2}=\frac{k}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{2}=\sqrt{2}m$，
解得，k=2，m=1；
（2）设反比例函数$y=\frac{n}{x}$，
当k=4，m=1时，则点C为（-1，4），
∵反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象过点C（-1，4），
∴$4=\frac{n}{-1}$，
解得，n=-4，
∴过点C的反比例函数图象的解析式为$y=\frac{-4}{x}$；
当k=2，m=1时，则点C为（-1，2），
∵反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象过点C（-1，2），
∴$2=\frac{n}{-1}$，
解得，n=-2，
∴过点C的反比例函数图象的解析式为$y=\frac{-2}{x}$；
满足条件的反比例函数图象的共同特征：①图象都在二、四象限；②在每个象限，y随x的增大而增大；③函数图象关于原点对称．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．