Question

2．现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB=∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M为线段BD中点，连接CM，EM．
（1）如图1，当A，B，D在同一条直线上时，若AC=1，AE=2，求FM的长度；
（2）如图1，当A，B，D在同一条直线上时，求证：CM=EM；
（3）如图2，当A，B，D不在同一条直线上时，请探究CM，EM的数量关系和位置关系．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可分别求得AB和AD的长，再由中点的定义可求得BM和BF的长，从而可求得FM；
（2）过点E作EN⊥BD交点N，由中点的定义可求得FN=BM，从而可求得CF=MN，同理可得到EN=FM，则可证明△CFM≌△MNE，可证得结论；
（3）取AD的中点H，连接EH、MH、MF，利用三角形的中位线可得MF=$\frac{1}{2}$AD=EH，HM=$\frac{1}{2}$AB=CF，可证明△CFM≌△MHE，再利用平行线的性质可证得∠CME=∠CFA=90°，可得出CM和EM的数量关系和位置关系．

解答 解：
（1）∵AC=BC=1，AE=AD=2，∠ACB=∠AED=90°，
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=AB+AD+3$\sqrt{2}$，
∵CF⊥AB，
∴F为AB中点，且M为BD中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴FM=BM-BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；
（2）如图1，过E作EN⊥BD，交BD于点N，

∵F为AB中点，N为AD中点，
∴FN=FA+AN=$\frac{1}{2}$（AB+AD）=$\frac{1}{2}$BD，
∵M为BD中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$BD，
∴FN=BM，即BF+FM=FM+MN，
∴BF=MN，
又CF=BF，
∴CF=MN，
同理可得EN=FM，且∠CFM=∠MNE=90°，
∴在△CFM和△MNE中
$\left\{\begin{array}{l}{CF=MN}\\{∠CFM=∠MNE}\\{FM=NE}\end{array}\right.$
∴△CFM≌△MNE（SAS），
∴CM=EM；
（3）如图2，过E作EH⊥AD于点H，则H为AD中点，设AB与CM交于点O，

∵M为BD中点，
∴MH∥AB且MH=$\frac{1}{2}$AB，
∵CF⊥AB，
∴F为AB中点，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AB，
∴CF=MH，
同理可得MF=HE，
∵MH∥AB，MF∥AD，
∴∠MHA+∠BAH=∠MFA+∠BAH=180°，
∴∠MHA=∠MFA，
∵CF⊥AB，EH⊥AD，
∴∠CFA=∠EHA=90°，
∴∠CFM=∠MHE，
在△CFM和△MHE中
$\left\{\begin{array}{l}{CF=MH}\\{∠CFM=∠MHE}\\{MF=HE}\end{array}\right.$
∴△CFM≌△MHE（SAS），
∴CM=EM，∠1=∠2，
∵MH∥AB，
∴∠BOM=∠OMH，即∠2+∠CFA=∠1+∠CME，
∴∠CME=∠CFA=90°，
∴CM⊥EM，
综上可知CE=EM且CM⊥EM．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等．在（2）、（3）中构造三角形，找到三角形全等的条件是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度较大．