Question

12．猜想：如图①，在?ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若?ABCD的面积是10，则四边形CDEF的面积是5．
探究：如图②，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若AC=4，BD=8，求四边形ABFE的面积．
应用：如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D，使DC=BC，连结AD．若AC=4，$AD=\sqrt{73}$，则△ABD的面积是12．

Answer 1

分析 猜想：首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA=OC．根据平行线的性质可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，进而可根据AAS定理证明△AEO≌△CFO，再根据全等三角形的性质可得结论；
探究：根据菱形的性质得到AD∥BC，AO=CO，BO=$\frac{1}{2}$BD=4，根据全等三角形的判定定理得到△AOE≌△COF，由于AC⊥BD，于是得到结果；
应用：延长AC到E使CE=AC=4，根据全等三角形的判定定理得到△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质得到∠E=∠BAC=90°，根据勾股定理得到DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=3，即可得到结论．

解答 解：猜想：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC．
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{∠AEO=∠CFO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO，
∴四边形CDEF的面积=S_△ACD=$\frac{1}{2}$?ABCD的面积=5；
故答案为：5；

探究：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=CO，BO=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△AOE于△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{∠AEO=∠CFO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∵AC⊥BD，
∴${S_{四边形ABFE}}={S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BO=\frac{1}{2}×4×4=8$．

应用：延长AC到E使CE=AC=4，
在△ABC与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACB=∠DCE}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE，
∴∠E=∠BAC=90°，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∴S_△ABD=S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE=$\frac{1}{2}$×8×3=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，图形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．