Question

20．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
【发现与证明】在?ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．
（1）填空：B′E=DE（填“＜，=，＞”）；
（2）求证：B′D∥AC．
【应用与探究】
在?ABCD中，已知：BC=4，∠B=60°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．若以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形，求AC的长．（要求画出图形）

Answer 1

分析 [发现与证明]（1）由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；
（2）根据等腰三角形的性质得出DE=B′E，证出∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
[应用与探究]：分两种情况：①由矩形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由矩形的性质和已知条件得出AC=4$\sqrt{3}$．

解答 解：[发现与证明]：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
∴DE=B′E；
故答案为：=；

（2）∵DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′ED），
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；

[应用与探究]：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ACDB′是矩形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=60°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$；
②如图2所示：
∵四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，∠B=60°，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
综上所述：AC的长为2$\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的性质、翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．