Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙0，交BC于D，DE⊥AC于E，连接0E．
（1）求证：DE为⊙0的切线；
（2）若cos∠ABD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求tan∠AEO的值．

Answer 1

分析 （1）利用AB为直径，AB=AC判断出OD∥AC，得到∠ODE=90°即可，
（2）设BD=CD=$\sqrt{5}$x，表示出AB=AC=5x，OD=OB=OA=$\frac{5}{2}$x，即可‘

解答 证明：（1）连接OD，AD，
∵AB为直径．
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴点D为BC中点，
∴OD为△ABC中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）设BD=CD=$\sqrt{5}$x，
∴AB=AC=5x，
∴OD=OB=OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，
∵cos∠C=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠C=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=CD×sin∠C=$\sqrt{5}$x×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=2x，
∴tan∠AEO=tan∠DOE=$\frac{DE}{OD}$=$\frac{2x}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题是切线的判定，主要考查了切线的判定定理，三角形中位线的性质，合理运用锐角三角函数是解本题的关键．