Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点F，过点D作⊙O的切线交AC于E．
（1）求证：AD²=AB•AE；
（2）若AD=2$\sqrt{5}$，AF=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD²=AB•AE，即证明AD²=AC•AE，只要证明△ADE∽△ACD即可．
（2）易知OD=$\frac{1}{2}$AC，只要求出AC，先证明EF=EC，设EF=EC=x，根据DE²=EF•EA=AD²-AE²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OD，DF．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵AO=OB，
∴OD∥AC，DO=$\frac{1}{2}$AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，∵OD∥AC，
∴DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵∠DAE=∠DAC，∠AED=∠ADC=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AE•AC=AB•AE．
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DFC=∠B，
∴∠C=∠DFC，
∴DF=DC，∵DE⊥CF，
∴EF=EC，设FE=EC=x，
∵DE是切线
∴DE²=EF•EA=AD²-AE²，
∴x（x+3）=（2$\sqrt{5}$）²-（x+3）²，
∴x=$\frac{11}{9}$，
∴AC=AF+FC=3+$\frac{22}{9}$=$\frac{49}{9}$，
由（1）可知OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{49}{18}$，
∴⊙O的半径为$\frac{49}{18}$．

点评 此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意圆的切线垂直于过切点的半径，属于中考常考题型．