Question

2．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，E为BA延长线上的一点，连接CE、CA，∠ECA=∠ACD．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若EA=2，tanE=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，∠ACD=∠ABC，结合∠OCB+∠OCA=90°即可；
（2）在Rt△ECO中，tan∠E=$\frac{3}{4}$，设OC=R，得到CE=$\frac{4}{3}$R，OE=R+2即可．

解答 （1）证明：连接BC，OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠ABC，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠ACD=∠OCB，
∵∠ECA=∠ACD．
∴∠EAC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠ECA+∠OCA=90°，
∴∠OCE=90°，
∵点C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ECO中，tan∠E=$\frac{3}{4}$，设OC=R，
∴CE=$\frac{4}{3}$R，OE=R+2，
∴（$\frac{4}{3}$R）²+R²=（R+2）²，
∴R=3或R=-$\frac{3}{4}$（舍）．

点评 此题是切线的判定，涉及到圆中的性质，弦切角，勾股定理，判断∠OCE=90°是解本题的关键，