Question

8．已知a、b、c是△ABC的三边长．求证：关于x的方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0没有实数根．

Answer 1

分析 求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．

解答 证明：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴b²≠0．
∴△=（b²+c²-a²）²-4b²c²
=（b²+c²-a²-2bc）（b²+c²-a²+2bc），
=[（c+b）²-a²][（c-b）²-a²]，
=（c+b-a）（c+a+b）（c-b+a）（c-b-a），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，c-b-a＜0，
∴△＜0，则原方程没有实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．