Question

13．①计算：
（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1；
（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1；
②化简：
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$．
③计算：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2012}}$．

Answer 1

分析 ①根据平方差公式求出即可；
②先找出分母有理化因式，再分子和分母都乘以有理化因式即可；
③先分母有理化，再合并即可．

解答 解：①（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=（$\sqrt{2}$）²-1²=1，
（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=（$\sqrt{3}$）²-（$\sqrt{2}$）²=1．
故答案为：1，1；

②$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=$\frac{1×（2-\sqrt{3}）}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$．
故答案为：2-$\sqrt{3}$；

③原式=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+…+$\frac{1×（\sqrt{2012}-\sqrt{2011}）}{（\sqrt{2012}+\sqrt{2011}）（\sqrt{2012}-\sqrt{2011}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2012}$-$\sqrt{2011}$
=$\sqrt{2012}$-1．

点评 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化的应用，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．