Question

18．如图，AD⊥AB，BE⊥AB，AE、BD相交于点C，CF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：△ADC∽△EBC；
（2）设AD=p，BE=q，CF=r，AF=m，BF=n．用m，n来表示$\frac{r}{p}$，$\frac{r}{q}$；
（3）求证：$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{r}$．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥AB，BE⊥AB，得到AD∥BE，即可得到结论；
（2）根据AD⊥AB，BE⊥AB，CF⊥AB，于是得到AD∥CF∥BE，证得△FBC∽△ABD，△ACF∽△ABE，得到比例式，即可得到结果；
（3）由（2）知：$\frac{r}{p}=\frac{n}{m+n}$，$\frac{r}{q}=\frac{m}{m+n}$，两式相加即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，
∴AD∥BE，
∴△ADC∽△EBC；

（2）解：∵AD⊥AB，BE⊥AB，CF⊥AB，
∴AD∥CF∥BE，
∴△FBC∽△ABD，△ACF∽△ABE，
∴$\frac{CF}{AD}=\frac{BF}{AB}$，$\frac{CF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
即：$\frac{r}{p}=\frac{n}{m+n}$，$\frac{r}{q}=\frac{m}{m+n}$；

（3）证明：由（2）知：$\frac{r}{p}=\frac{n}{m+n}$，$\frac{r}{q}=\frac{m}{m+n}$，
∴$\frac{r}{p}+\frac{r}{q}$=$\frac{n}{m+n}$+$\frac{m}{m+n}$=$\frac{m+n}{m+n}$=1，
∴$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{r}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．