已知Rt△ABC.AB=AC.∠BAC=90°.点D为直线BC上的一动点.以AD为边作Rt△ADE.AD=AE.连接CE．(1)发现问题如图①.当点D在边BC上时.①请写出BD和CE之间的数量关系为相等.位置关系为垂直,②线段CE+CD=$\sqrt{2}$AC,(2)尝试探究如图②.当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时.(1)中AC.CE.CD之间存在的数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD=AE，连接CE．

（1）发现问题
如图①，当点D在边BC上时，
①请写出BD和CE之间的数量关系为相等，位置关系为垂直；
②线段CE+CD=$\sqrt{2}$AC；
（2）尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=4，CE=2，求线段CD的长．

分析（1）①根据AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，证△BAD≌△CAF，推出CE=BD，CE⊥BD即可；
②结论：CE+CE=$\sqrt{2}$AC．由△ABC是等腰直角三角形，得到BC=$\sqrt{2}$AC，BC=BD+CD，由此即可得出结论；
（2）结论：CE=$\sqrt{2}$AC+CD，如图2中，先证明△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可，再根据等腰直角三角形性质即可解决问题．
（3）根据SAS证△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可，由此即可解决问题．

解答（1）证明：如图1中，①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE；
②结论：CE+CE=$\sqrt{2}$AC．
理由：由①得BD=CE，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，
∵BC=BD+CD=CE+CD，
∴CE+CD=$\sqrt{2}$AC；

（2）解：如图2中，存在数量关系为：CE=$\sqrt{2}$AC+CD；
理由：由（1）同理可得
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴BD=BC+CD=$\sqrt{2}$AC+CD，
∴CE=$\sqrt{2}$AC+CD；

（3）解：由（1）同理
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=BC+CE．
∵BC=4，CE=2，
∴CD=6．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．

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