Question

已知，如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过O作AO的垂线分别交于AB，AC于点D，E，求证：∠OBC=∠EOC．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：由BO与CO是∠ABC、∠ACB的平分线，可得AO是∠BAC的平分线，利用三角形的内角和可得∠BOC=180°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）又因为∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，所以可得∠BOC=180°-

1

2

（180°-∠BAC）=90°+

1

2

∠BAC，再利用外角的性质可得∠OEC=90°+

1

2

∠BAC，又因为∠ECO=∠BCO，即可证明△OBC∽△EOC，从而证得∠OBC=∠EOC．

解答：证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴AO平分是∠BAC的平分线，
∴∠OAE=

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2

∠BAC，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC，
∵AO⊥DE，
∴∠AOE=90°，
∴∠OEC=∠AOE+∠OAE=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BOC=∠OEC，
又∵∠ECO=∠OCB，
∴△BOC∽△OEC，
∴∠OBC=∠EOC．

点评：本题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和，相似三角形的判定和性质，能通过图形和已知找到角之间的关系是解题的关键．